Для обозначения логической операции или. Логические операции и их свойства. Эквивалентность или логическая равнозначность

Электрическая схема, предназначенная для выполнения какой-либо логической операции с входными данными, называется логическим элементом. Входные данные представляются здесь в виде напряжений различных уровней, и результат логической операции на выходе - также получается в виде напряжения определенного уровня.

Операнды в данном случае подаются - на вход логического элемента поступают сигналы в форме напряжения высокого или низкого уровня, которые и служат по сути входными данными. Так, напряжение высокого уровня - это логическая единица 1 - обозначает истинное значение операнда, а напряжение низкого уровня 0 - значение ложное. 1 - ИСТИНА, 0 - ЛОЖЬ.

Логический элемент - элемент, осуществляющий определенные логические зависимость между входными и выходными сигналами. Логические элементы обычно используются для построения логических схем вычислительных машин, дискретных схем автоматического контроля и управления. Для всех видов логических элементов, независимо от их физической природы, характерны дискретные значения входных и выходных сигналов.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один или два (обычно инверсных друг другу) выхода. Значения «нулей» и «единиц» выходных сигналов логических элементов определяются логической функцией, которую выполняет элемент, и значениями «нулей» и «единиц» входных сигналов, играющих роль независимых переменных. Существуют элементарные логические функции, из которых можно составить любую сложную логическую функцию.

В зависимости от устройства схемы элемента, от ее электрических параметров, логические уровни (высокие и низкие уровни напряжения) входа и выхода имеют одинаковые значения для высокого и низкого (истинного и ложного) состояний.

Традиционно логические элементы выпускаются в виде специальных радиодеталей - интегральных микросхем. Логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и сложение по модулю (И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ) - являются основными операциями, выполняемыми на логических элементах основных типов. Далее рассмотрим каждый из этих типов логических элементов более внимательно.

Логический элемент «И» - конъюнкция, логическое умножение, AND

«И» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию конъюнкции или логического умножения. Данный элемент может иметь от 2 до 8 (наиболее распространены в производстве элементы «И» с 2, 3, 4 и 8 входами) входов и один выход.

Условные обозначения логических элементов «И» с разным количеством входов приведены на рисунке. В тексте логический элемент «И» с тем или иным числом входов обозначается как «2И», «4И» и т. д. - элемент «И» с двумя входами, с четырьмя входами и т. д.

Таблица истинности для элемента 2И показывает, что на выходе элемента будет логическая единица лишь в том случае, если логические единицы будут одновременно на первом входе И на втором входе. В остальных трех возможных случаях на выходе будет ноль.

На западных схемах значок элемента «И» имеет прямую черту на входе и закругление на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «&».

Логический элемент «ИЛИ» - дизъюнкция, логическое сложение, OR

«ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию дизъюнкции или логического сложения. Он так же как и элемент «И» выпускается с двумя, тремя, четырьмя и т. д. входами и с одним выходом. Условные обозначения логических элементов «ИЛИ» с различным количеством входов показаны на рисунке. Обозначаются данные элементы так: 2ИЛИ, 3ИЛИ, 4ИЛИ и т. д.

Таблица истинности для элемента «2ИЛИ» показывает, что для появления на выходе логической единицы, достаточно чтобы логическая единица была на первом входе ИЛИ на втором входе. Если логические единицы будут сразу на двух входах, на выходе также будет единица.

На западных схемах значок элемента «ИЛИ» имеет закругление на входе и закругление с заострением на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1».

Логический элемент «НЕ» - отрицание, инвертор, NOT

«НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического отрицания. Данный элемент, имеющий один выход и только один вход, называют еще инвертором, поскольку он на самом деле инвертирует (обращает) входной сигнал. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «НЕ».

Таблица истинности для инвертора показывает, что высокий потенциал на входе даёт низкий потенциал на выходе и наоборот.

На западных схемах значок элемента «НЕ» имеет форму треугольника с кружочком на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1», с кружком на выходе.

Логический элемент «И-НЕ» - конъюнкция (логическое умножение) с отрицанием, NAND

«И-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Другими словами, это в принципе элемент «И», дополненный элементом «НЕ». На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2И-НЕ».

Таблица истинности для элемента «И-НЕ» противоположна таблице для элемента «И». Вместо трех нулей и единицы - три единицы и ноль. Элемент «И-НЕ» называют еще «элемент Шеффера» в честь математика Генри Мориса Шеффера, впервые отметившего значимость этой в 1913 году. Обозначается как «И», только с кружочком на выходе.

Логический элемент «ИЛИ-НЕ» - дизъюнкция (логическое сложение) с отрицанием, NOR

«ИЛИ-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Иначе говоря, это элемент «ИЛИ», дополненный элементом «НЕ» - инвертором. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2ИЛИ-НЕ».

Таблица истинности для элемента «ИЛИ-НЕ» противоположна таблице для элемента «ИЛИ». Высокий потенциал на выходе получается лишь в одном случае - на оба входа подаются одновременно низкие потенциалы. Обозначается как «ИЛИ», только с кружочком на выходе, обозначающим инверсию.

Логический элемент «исключающее ИЛИ» - сложение по модулю 2, XOR

«исключающее ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения по модулю 2, имеет два входа и один выход. Часто данные элементы применяют в схемах контроля. На рисунке приведено условное обозначение данного элемента.

Изображение в западных схемах - как у «ИЛИ» с дополнительной изогнутой полоской на стороне входа, в отечественной - как «ИЛИ», только вместо «1» будет написано «=1».

Этот логический элемент еще называют «неравнозначность». Высокий уровень напряжения будет на выходе лишь тогда, когда сигналы на входе не равны (на одном единица, на другом ноль или на одном ноль, а на другом единица) если даже на входе будут одновременно две единицы, на выходе будет ноль - в этом отличие от «ИЛИ». Данные элементы логики широко применяются в сумматорах.

Разделы: Информатика

В настоящее время на вступительных экзаменах по информатике есть много заданий по теме “алгебра логики”. Цель данного урока – закрепление навыков решения заданий ЕГЭ по информатике с использованием элементов алгебры логики.

Цели урока:

• Формирование умения применять полученные знания на практике;
• Развитие умения построения таблиц истинности по заданным формулам;
• Развитие умения решать текстовые задачи с использованием законов логики.

Задачи урока:

• Воспитательная – развитие познавательного интереса, логического мышления.
• Образовательная – повторение основ математической логики, выполнение практических заданий.
• Развивающая – развитие логического мышления, внимательности.

Ход урока

1. Повторение логических операций и законов.
2. Применение логических операций и законов на практике.
3. Объяснение домашнего задания.

Сегодня мы с вами завершаем тему “Основы логики” и применим основные логические операции, законы преобразования для решения заданий ЕГЭ по информатике.

Урок идет параллельно с презентацией. <Приложение1>

1. Повторение логических операций и законов.

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

1. Основоположник формальной логики?

Аристотель.

2. Основоположник алгебры логики?

Джордж Буль.

3. Перечислите логические операции:

¬ отрицание (инверсия)
&, /\конъюнкция (“И”)
V дизъюнкция (“ИЛИ”)
логическое следование (импликация)
равнозначность (эквивалентность)

4. В чем смысл закона двойного отрицания?

Двойное отрицание исключает отрицание.

5. Законы де Моргана (законы общей инверсии).

Отрицание дизъюнкции является конъюнкцией отрицаний:

¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

Отрицание конъюнкции является дизъюнкцией отрицаний:

¬(A /\B) = ¬A V ¬B

6. Закон идемпотентности (одинаковости).

7. В чём смысл закона исключения третьего?

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же одно всегда истинно, второе ложно, третьего не дано:

8. О чём закон противоречия?

Не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание:

9. Закон исключения констант.

Для логического сложения:

A V 1 = 1 A V 0 = A

Для логического умножения:

A /\ 1 = A A /\ 0 = 0

10. Как выразить импликацию через дизъюнкцию?

А В = ¬A V В

2. Примение логических операций и законов на практике.

Пример 1. (Задание А11 демоверсии 2004 г.)

Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени гласная -> Четвертая буква имени согласная)?

Решение. Сложное высказывание состоит из двух простых высказываний:

А – первая буква имени гласная,

В – четвертая буква имени согласная.

¬ (А В) = ¬ (¬A V В) = (¬ (¬А) /\ ¬B) = A /\ ¬B

Применяемые формулы:

1. Импликация через дизъюнкцию А? В = ¬A V В

2. Закон де Моргана ¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

3. Закон двойного отрицания.

(Первая буква имени гласная /\ Четвертая буква имени гласная)

Пример 2. (Задание А12 демоверсии 2004 г.)

Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (А \/ ¬B)?

Решение. ¬ (А \/ ¬B)= ¬ А \/ ¬ (¬B)= ¬ А \/ B

Составить таблицу истинности для формулы

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

Порядок выполнения логических операций:

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

Составить таблицу истинности.

Сколько строк будет в вашей таблице? 3 переменных: А, В, С; 2 3 =8

Сколько столбцов? 5 операций + 3 переменных = 8

Какие ответы получились в последнем столбце?

тождественно-истинным , если оно принимает значения 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Тождественно-истинные формулы называют тавтологиями.

Решим этот пример аналитическим методом:

упрощаем выражение

¬ (B /\ C) V (A/\C B)= (применим формулу для импликации)

¬ (B /\ C) V ¬ (A /\ C) V B = (применим 1 и 2 законы де Моргана)

(¬B V ¬C) V (¬A V ¬C) V B = (уберём скобки)

¬B V ¬C V ¬A V ¬C V B= (применим переместительный закон)

¬B V B V ¬C V ¬C V ¬A = (закон исключения третьего, закон идемпотентности)

1 V ¬С V ¬A = 1 V ¬A = 1 (закон исключения констант)

Ответ: 1 , означает, что формула является тождественно-истинной или тавтологией.

Логическое выражение называется тождественно-ложным , если оно принимает значения 0 на всех наборах входящих в него простых высказываний.

(задание 3 домашнего задания)

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдёт поисковый сервер по каждому запросу.

Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется символ I, а для логической операции “И” – символ &.

Первый способ основан на рассуждении. Рассуждая логически, мы видим, что больше всего будет найдено страниц по запросу Г, так как при его исполнении будут найдены и страницы со словом “законы”, и страницы, со словом “физика”, и страницы со словом “биология”. Меньше всего будет найдено страниц по запросу В, так как в нем присутствие всех четырех слов на искомой странице. Осталось сравнить запросы А и Б. По запросу Б будут найдены все страницы, соответствующие запросу А, (так как в последних обязательно присутствует слово “законы”), а также страницы, содержащие одновременно слова “физика” и “биология”. Следовательно по запросу Б будет найдено больше страниц, чем по запросу А. Итак, упорядочив запросы по возрастанию страниц, получаем ВАБГ .

Ответ: ВАБГ.

Второй способ предполагает использование графического представления операций над множествами. (Смотри презентацию)

Пример 5. (Задание А16 демоверсии 2006 г.)

Ниже в табличной форме представлен фрагмент базы данных о результатах тестирования учащихся (используется стобалльная шкала)

Сколько записей в данном фрагменте удовлетворяют условию

“Пол=’м’ ИЛИ Химия>Биология”?

Выбираем записи: Мальчики (двое) и Химия>Биология (трое, но один мальчик, уже взялся 1 раз). В итоге 4 записи удовлетворяют условию.

Задание 6. (Задание В4 демоверсии 2007 г)

В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях.

Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй.

Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место.

Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.

Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?

(В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)

Обозначим высказывания:

Н1 = “первой будет Наташа”;

М2 = “второй будет Маша”;

Л2 = “второй будет Люда”;

Р4 = “четвертой будет Рита”;

Р3 = “третьей будет Рита”;

Н2 = “второй будет Наташа”.

Согласно условию:

из высказываний 1 болельщика следует, что Н1VМ2 истинно;

из высказываний2 болельщика следует, что Л2VР4 истинно;

из высказываний 3 болельщика следует, что Р3VН2 истинно.

Следовательно, истинна и конъюнкция

(Н1VМ2) /\ (Л2VР4) /\ (Р3VН2) = 1.

Раскрыв скобки получим:

(Н1VМ2) /\ (Л2VР4) /\ (Р3VН2) = (Н1/\Л2V Н1/\Р4 V М2/\Л2 V М2/\Р4) /\ (Р3VН2)=

Н1/\ Л2/\Р3 V Н1/\Р4/\Р3 V М2/\Л2/\Р3 V М2/\Р4/\Р3 V Н1/\Л2/\Н2 V Н1/\Р4/\Н2 V М2/\Л2/\Н2 V М2/\Р4/\Н2 =Н1/\ Л2/\Р3 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V= Н1/\ Л2/\Р3

Наташа-1, Люда-2, Рита-3, а Маша-4.

Ответ: 1423

3. Объяснение домашнего задания.

Задание 1. (Задание В8 демоверсии 2007г)

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется символ |, а для логической операции “И” – &.

Задание 2 (Задание В4 демоверсии 2008г)

Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

A) Макс победит, Билл – второй;

B) Билл – третий. Ник – первый;

C) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс?

(В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

Для быстрого поиска информации в Интернете используют поисковые запросы. Поисковый запрос – это набор ключевых слов, соединенных знаками логических операций И, ИЛИ, НЕ.

Приоритет выполнения операций, если нет специально поставленных скобок, следующий: сначала НЕ, затем И, затем ИЛИ.

Нужно понимать, что операция И (одновременное выполнение условий) сокращает объем получаемого результата, а операция ИЛИ (выполнение хотя бы одного из условий) наоборот увеличивает объем.

Если в запросе стоит фраза в кавычках, система будет искать точно такую фразу целиком.

1. Расположение запросов по возрастанию (убыванию)

Операция «И» (&) обозначает одновременное присутствие ключевых слов в искомых документах, а потому уменьшает количество найденной информации. Чем больше ключевых слов соединены операцией «И», тем меньше количество найденной информации. И наоборот, операция «ИЛИ» (|) обозначает присутствие хотя бы одного ключевого слова в искомых документах, а потому увеличивает количество найденной информации.

Пример 1.

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

А) реферат | математика | Гаусс
Б) реферат | математика | Гаусс | метод
В) реферат | математика
Г) реферат & математика & Гаусс

Решение:

Самое маленькое количество страниц будет отобрано по запросу с наибольшим количеством операций «И» (запрос Г), Самое большое количество страниц будет отобрано по запросу с наибольшим количеством операций «ИЛИ» (запрос Б). По запросу А будет отобрано больше страниц, чем по запросу В, т.к. запрос А содержит больше ключевых слов, связанных операцией «ИЛИ».

Ответ: ГВАБ

2. Подсчет найденных по запросу страниц

Такой тип задач обычно решают системой уравнений. Предложу более наглядный и простой способ.

Принцип отбора информации по поисковым запросам хорошо иллюстрирует диаграмма Эйлера-Венна (круги Эйлера). На диаграмме множества изображаются пересекающимися кругами. Операция «И» (&) - это пересечение кругов, а операция «ИЛИ» (|) – это объединение кругов.

Например, обозначим кругами множества Яблоки, Груши, Бананы. По запросу Яблоки & Груши & Бананы будет отобрано пересечение (общая часть) всех трех кругов:

По запросу Яблоки | Груши будет отобрано объединение двух кругов:

Пример 2.

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу шахматы?

Решение:

Нарисуем диаграмму Эйлера-Венна. Прием решения задачи состоит в подсчете количества страниц, соответствующего каждой области, ограниченной линиями:

Запросу шахматы & теннис соответствует средняя область (1000 тыс. страниц), а запросу теннис – весь правый круг (5500 тыс. страниц).

Тогда правый «обрезанный круг» - это 5500-1000=4500:

Запросу шахматы | теннис соответствуют оба круга (7770), тогда левый «обрезанный круг» - это 7770-5500=2270

Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств – это пересечение)

Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна.

Обозначение: &, $\wedge$, $\cdot$.

Таблица истинности для конъюнкции

Рисунок 1.

Свойства конъюнкции:

1. Если хотя бы одно из подвыражений конъюнкции ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция будет ложной для этого набора значений.
2. Если все выражения конъюнкции истинны на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция тоже будет истинна.
3. Значение всей конъюнкции сложного выражения не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется (как в математике умножение).

Дизъюнкция или логическое сложение (в теории множеств это объединение)

Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.

Обозначение: +, $\vee$.

Таблица истинности для дизъюнкции

Рисунок 2.

Свойства дизъюнкции:

1. Если хотя бы одно из подвыражений дизъюнкции истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция принимает истинное значение для данного набора подвыражений.
2. Если все выражения из некоторого списка дизъюнкции ложны на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
3. Значение всей дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений (как в математике – сложение).

Отрицание, логическое отрицание или инверсия (в теории множеств это отрицание)

Отрицание - означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.

Обозначения: не $A$, $\bar{A}$, $¬A$.

Таблица истинности для инверсии

Рисунок 3.

Свойства отрицания:

«Двойное отрицание» $¬¬A$ является следствием суждения $A$, то есть имеет место тавтология в формальной логике и равно самому значению в булевой логике.

Импликация или логическое следование

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием ($A$), а второе ($A$) является следствием условия ($A$).

Обозначения: $\to$, $\Rightarrow$.

Таблица истинности для импликации

Рисунок 4.

Свойства импликации:

1. $A \to B = ¬A \vee B$.
2. Импликация $A \to B$ ложна, если $A=1$ и $B=0$.
3. Если $A=0$, то импликация $A \to B$ истинна при любом значении $B$, (из лжи может следовать истинна).

Эквивалентность или логическая равнозначность

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.

Обозначения: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

Таблица истинности для эквивалентности

Рисунок 5.

Свойства эквивалентности:

1. Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных $A$ и $B$.
2. КНФ $A \equiv B = (\bar{A} \vee B) \cdot (A \cdot \bar{B})$
3. ДНФ $A \equiv B = \bar{A} \cdot \bar{B} \vee A \cdot B$

Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 (в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)

Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.

Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

1. Инверсия(отрицание);
2. Конъюнкция (логическое умножение);
3. Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение);
4. Импликация (следствие);
5. Эквивалентность (тождество).

Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.

Общие свойства

Для набора из $n$ логических переменных существует ровно $2^n$ различных значений. Таблица истинности для логического выражения от $n$ переменных содержит $n+1$ столбец и $2^n$ строк.

СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

1. Обозначения

1.1. Обозначения для логических связок (операций):

a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);

b) конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается /\
(например, А /\ В) либо & (например, А & В);

c) дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/
(например, А \/ В);

d) следование (импликация) обозначается → (например, А → В);

e) тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B). Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);

f) символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ 0 – для обозначения лжи (ложного высказывания).

1.2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А /\ В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

1.3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество. Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и

((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

2. Свойства

Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.

2.1. Общие свойства

1. Для набора из n логических переменных существует ровно 2 n различных значений. Таблица истинности для логического выражения от n переменных содержит n+1 столбец и 2 n строк.

2.2.Дизъюнкция

1. Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется дизъюнкция, истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция истинна для этого набора значений.
2. Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже истинна.
3. Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
4. Значение дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

2.3. Конъюнкция

1. Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется конъюнкция, ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция ложна для этого набора значений.
2. Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже истинна.
3. Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже ложна.
4. Значение конюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

2.4. Простые дизъюнкции и конъюнкции

Назовем (для удобства) конъюнкцию простой , если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой , если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.

1. Простая конъюнкция принимает значение 1 (истина) ровно на одном наборе значений переменных.
2. Простая дизъюнкция принимает значение 0 (ложь) ровно на одном наборе значений переменных.

2.5. Импликация

1. Импликация A →B равносильна дизъюнкции (¬ А) \/ В. Эту дизъюнкцию можно записать и так: ¬А \/ В.
2. Импликация A →B принимает значение 0 (ложь) только если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A →B истинна при любом значении B.